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1. 优先队列与索引优先队列
优先队列的原理大家应该比较熟悉,本质上就是利用完全二叉树的结构实现以log2n的时间复杂度删除队列中的最小对象(这里以小堆顶为例)。完全二叉树又可以通过数组下标实现索引,当插入一个对象的时候,利用上浮操作更新最小对象。当删除堆顶最小对象时,将末尾的对象放置到堆顶上,然后执行下沉操作。
优先队列有一个缺点,就是不能直接访问已存在于优先队列中的对象,并更新它们。这个问题在Dijistra算法中就有明显的体现,有时候我们需要更新已在队列中的顶点的距离。为此就需要设计一种新型的数据结构来解决这个问题,这就是本文要介绍的索引优先队列。
索引优先队用一个整数和对象进行关联,当我们需要跟新该对象的值时,可以通这个整数进行快速索引,然后对对象的值进行更新。当然更新后的对象在优先队列中的位置可能发生变化,这样以保证整个队列还是一个优先队列。
简易版的索引优先队列API
IndexPriorityQueue<T> | |
IndexPriorityQueue(int capacity, Comparator<T> cmp) | 构造函数,capacity表示队列容量,cmp表示对象的比较器 |
void enqueue(int k, T t) | 将整数k和对象t进行关联,如果已有和k关联的对象,则将其更新为t |
int dequeue() | 出列,即删除最对象素并返回与它相关的整数。 |
void change(int k, T t) | 将和整数k和关联的对象更新为t |
注意与对象关联的整数k不能超过队列的容量。
2. 索引优先队列的实现原理
为了实现快速索引,我们首先尝试一个简单版本。我们创建两个数组分别是pq,elements。elements的作用是存储对象的引用,我们将每个对象存储在与之相关的整数作为下标的位置中,elements存储的对象不一定在数组中连续存放。pq存储是与对象相关的整数值,注意数组pq是连续存放的。此时pq作为优先队列,但是在上浮和下沉操作中,我们比较的是pq中值作为下标的elements数组中的值。这样我们就可以实现快速索引。
下图中,我们以字符串作为存储的对象类型,建立一个索引优先队列
从中我们可以看出,我们设计数组pq数组的目的。我们只需要对pq中的数值进行维护就可以实现一个优先队列,而elements中的对象的位置保持不变(出列时会置为null),这样就可以方便我们快速索引。比如通过elements数组我们可以知道与整数3相关的字符串为“f”。
在图中,我们插入一个与整数10相关的字符串“b”后,pq和elements中的值如下图所示。
假设在上图的基础上,我们要将与整数3相关的字符串修改为“a”,那么我们只需要让elements[3] = “a”即可。然后去维护pq中的值。但是在维护pq中的值时出现了一个问题,我们不知道pq中哪个位置中的值为3,只能从都到尾遍历,找到这个元素所在的位置后进行上浮和下沉操作(因为我们必须通过下标才能快速找到父节点或者孩子节点)。为了能够快速找到pq中元素值对应的下标,我们需要额外设置一个数组qp,它的作用是存储与对象相关的整数在pq数组中的下标,并在上浮和下沉的过程中同时维护它。
在上述的基础上,假设我们需要将与整数3相关的字符串修改为“a”,那么我们只需要让elements[3] = “a”,然后通过qp[3]中的值2就可以知道数组pq中值为3的下标为2,然后对pq[2]进行上浮或下沉操作。这里显然需要进行上浮操作,那么我们要交换pq[1]和pq[2]的值。这个时候我们需要注意的是,在交换pq数组中的两个元素的值时,我们也需要交换qp对应两个元素的值,因为与对象相关的整数在pq的不同位置上,那么显然该整数在pq所在的下标也变了,所以qp中的值也应该发生变化。而需要交换的qp中的两元素的下标正好就是pq中两元素的值。结果如下图所示。所以我们也需要交换qp[3]和qp[10]的值。
3. 索引优先队列的代码实现
上述的索引优先队列的原理中不能将数字0与对象进行关联,因为三个数组没有使用下标为0的位置。如果要实现与数字0进行关联,入列时只需要每个关联的数字加1;当出列时,我们只需要将返回的数字减1。
package datastruct;import java.util.Arrays;import java.util.Comparator;public class IndexPriorityQueue{ private int[] pq; private int[] qp; private Object[] element; private final int capacity; private int size; private Comparator cmp; private static class Cmp implements Comparator { @SuppressWarnings({ "unchecked", "rawtypes" }) @Override public int compare(T t1, T t2) { return ((Comparable)(t1)).compareTo(t2); } } private static void swap(int[] a, int i, int j){ int tmp; tmp = a[i]; a[i] = a[j]; a[j] = tmp; } //与对象关联的整数范围是[0,capacity-1] public IndexPriorityQueue(int capacity, Comparator cmp){ this.capacity = capacity; pq = new int[capacity+1]; qp = new int[capacity+1]; Arrays.fill(qp, -1); element = new Object[capacity+1]; if(cmp == null){ this.cmp = new Cmp (); } } public void enqueue(int k, T t){ k++;//使得关联的整数可以为0 if(k > capacity){ throw new IllegalArgumentException(); } if(qp[k] != -1){ element[k] = t; swim(qp[k]); sink(qp[k]); return; } size++; pq[size] = k; qp[k] = size; element[k] = t; swim(size); } @SuppressWarnings("unchecked") private void swim(int child){ int parent = child/2; while(parent > 0){ if(cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[parent]]) < 0){ swap(pq, child, parent); swap(qp, pq[child], pq[parent]); child = parent; parent = child/2; }else{ break; } } } public int dequeue(){ if(size == 0){ throw new IllegalArgumentException(); } int r = pq[1]; element[r] = null; swap(pq, size, 1); swap(qp, pq[size], pq[1]); pq[size] = -1; size--; sink(1); r--;//使得关联的整数可以为0 return r; } @SuppressWarnings("unchecked") private void sink(int parent){ int child = parent*2; while(child <= size){ if(child + 1 <= size){ int r = cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[child+1]]); child = r > 0 ? child+1 : child; } if(cmp.compare((T)element[pq[child]], (T)element[pq[parent]]) < 0){ swap(pq, parent, child); swap(qp, pq[parent], pq[child]); parent = child; child = parent*2; }else{ break; } } } public void change(int k, T t){ k++; if(qp[k] == -1){ throw new IllegalArgumentException(); } element[k] = t; swim(qp[k]); sink(qp[k]); } public int size(){ return size; } public boolean isEmpty(){ return size == 0; } public static void main(String[] args){ IndexPriorityQueue ipq = new IndexPriorityQueue (11, null); ipq.enqueue(0, "k"); ipq.enqueue(6, "d"); ipq.enqueue(3, "f"); ipq.enqueue(4, "c"); ipq.enqueue(0, "a"); while(!ipq.isEmpty()){ System.out.println(ipq.dequeue()); } }}
4. 参考内容
[1]. 算法(第4版)Robert Sedgewick 人民邮电出版社
[2].